Olasılıksız kitabından ....pascalın matematiksel inanç çıkarımı...
Pascal çok uzun yıllar boyunca matematik ve fizik okuduysa da ölümünden birkaç yıl
önce sayılara karşı tutkusunu bir kenara bıraktı; çünkü matematiksel olarak, dine ve felsefeye
odaklanarak zamanını daha verimli bir şekilde kullanabileceğini kanıtlamıştı Bunu nasıl mı yaptı?
Pascal'ın hâlâ matematik ile ilgilendiği dönemde, 1654'de, Chevalier de Mere adında bir
Fransız asilzade ona birkaç soru sordu. Bu sorulara ilişkin matematiksel veriler çok ilginçti ve Pascal
babasının eski dostu olan bir devlet büyüğüyle, Pierre de Fermat ile yazışmaya başladı.
"De Mere aynı zamanda bir kumarbazdı ve o zamanlar popüler olan bir zar oyunu hakkında soru
soruyordu. Oyunda dört zar kullanılıyordu. Her seferinde oyuncu dört zar atıyordu. Dört zardan hiçbiri
altı gelmezse oyuncu para kazanıyordu, zarlardan bir tanesi bile altı gelirse parayı kasa alıyordu. De
Mere böyle bir oyunda kasanın avantajlı durumda olup olmadığını bilmek istiyordu. Yani olasılıklar
kasadan yana mıydı?"Eğer bu sınıfta bir tek şey dahi öğrenseniz, bu bile size faydadır: O da şudur," Caine tahtaya gitti
ve koca harflerle yazdı.
Olasılıklar HER ZAMAN kasadan yanadır.
Birkaç öğrenci bu espriye güldü. "Peki neden? Bunu bana anlatabilecek öğrencim var mı? Jim."
Caine'in en sevdiği öğrenci oturduğu yerde doğruldu. "Çünkü, eğer olasılıklar kasadan yana
olmasa o zaman kasa para kaybederdi ve sonunda kasa kalmazdı."
"Aynen öyle," dedi Caine. "Bana kalırsa olasılık teorisi ortaya atılmadan bile, de Mere'in bunu
anlamış olması gerekiyordu; ama Fransız asilzadeler o kadar akıllı olsalardı kellelerinin vurulmasına da
izin vermezlerdi."
"Her neyse, Pascal ve Fermat gerçekten de - 'cidden öylemiymiş' gibi nidalarla - olasılıkların hep
kasadan yana olduğunu kanıtladılar. Oyuncunun yüz oyun oynadığını varsaydılar - 100 atışın 48'inde
altı gelmeme olasılığı yüksekken, 52'sinde altı gelme olasılığı daha yüksekti. Böylece olasılıklar
kasadan yanaydı: 52'ye 48. İşte olasılık teorisi de böyle doğdu. Fransız bir asilzade dört zarla altı
atmamaya çalışmanın akıllıca bir kumar olup olmadığını bilmek istediği için."
Birkaç öğrenci başını salladı. Caine bunun öğrencilerin söylediklerini ilginç buldukları anlamına
geldiğini biliyordu. Arka sırada oturan Afrika kökenli Amerikalı bir öğrenci elini kaldırdı. "Evet Michael?"
dedi Caine.
"Pascal hayatını dine adaması gerektiğini nasıl kanıtladı ki?"
"Az daha unutuyordum," dedi Caine. "Bunu yapmak için daha sonra 'beklenen değer' adıyla
anılacak bir teori kullandı. Özünde işlem şu: Birkaç olay olasılığının ürünlerinin toplamını, her bir olay
gerçekleşse elinize geçecekleri de ekleyerek topluyorsunuz."
Caine'e boş gözlerle bakıyordu öğrenciler. "Peki, anlaşıldı, daha doğrusu anlaşılmadı. Neyse,
gerçek hayattan bir şeyle örnekleyelim: Piyango. Bu haftaki piyangoda ne kadar para birikmiş? Bilen
var mı bu hafta Powerball ne kadar veriyor?"
"10 milyon dolar," dedi arka sıralardaki atletik yapılı bir öğrenci.
"Peki, vergi diye bir şeyin olmadığı hayali bir ülkede yaşadığımızı varsayalım. Şunu da biliyoruz ki
Powerball'ı kazanma olasılığı 120 milyonda 1. Çünkü sayısal kombinasyonların toplamı bu. Bir loto
bileti alarak ne kazanmayı beklediğimi hesaplamak için yapacağım işlem kısaca şöyle oluyor; Kazanma
olasılığını kazanacağım miktar ile çarpacağım, sonra da buna kaybetme olasılığımı sıfırla çarpıp
ekleyeceğim; sıfırla çarpmamın nedeni de kaybedersek bir şey kazanamayacak olmamız."
Beklenen Değer. (piyango bileti) = (kazanma) olasılığı * toplam para +
(kaybetme) olasılığı * (0$) [1/120.000.000.000}* ($10,000,000)+
(119,999,999/120,000,000)*
($0) = (0.00000083%) * ($10,000,0000) +
(99.99999917%) * ($0) =$0.083 + $0.000 =$0.083
"Yani bu hafta bir Powerball bileti alsanız ancak 8.3 sent kazanmayı bekleyebilirsiniz. Ama bilet bir
dolar ve görüldüğü gibi aslen değeri 8.3 sent Olasılık kuramına göre piyango bileti almak o zaman
mantıklı değil, çünkü ödenen bedel beklenen değerden daha düşük."
"Yani, siz 1 dolar ödeyip de 10 milyon dolar kazanma şansınız olduğunu düşünerek buna
değeceğini düşünseniz de, bu doğru değil; çünkü aslında biletin değeri 10 sent bile değil." Caine
kahvesini yudumladı ve öğrencilerin bu bilgiyi sindirmesini bekledi. Herkesin bu açıklamayı
anladığından emin olduğunda soru sordu. "O zaman ne zaman piyango bileti almak akıl karı bir iş
oturdu? Madison cevap verebilecek misin?"
Hoş sarışın oturduğu yerde doğruldu. "Herhalde toplam ikramiye 120 milyonu geçtiğinde."
"Doğru. Peki neden?"
"Çünkü, büyük ikramiye diyelim ki 125 milyon dolar ve kazanma şansı 120 milyonda bir, o zaman
her bir biletin beklenen değeri -" Madison durdu ve önündeki hesap makinesinde bir işlem yaptı, "1.04
dolar olurdu, o da biletin bedeli olan bir dolardan fazla."
"Aynen öyle," dedi Caine. "Beklenen değer teorisiyle olayı incelediğimizde, ancak değer bedelden
yüksekse o zaman bu risk göze alınmalıdır. Bu yüzden de ancak 120 milyon dolardan fazlasını
kazanabileceğiniz bir durumda piyango bileti almak gerekir."
"Peki ama, bunun Pascal'ın hayatını dine adaması ile ne ilgisi var?" diye sordu yine Michael.
"Pascal beklenen değer teorisini kullanarak hayatını dine adaması gerektiğini kanıtladı. Her
matematikçi gibi o da, bu soruyu bir formüle indirgedi."
Hangisi daha büyüktür?
a) Beklenen değer (hedonizm yani fiziksel yaşamdan zevk alma)
Ya da
b) Beklenen değer (dini hayat)
Varsayım...
a) Olasılık (ölümden sonra hayat yok) * (hedonizmden alınacak zevk) +
Olasılık (ölümden sonra hayat var) * (sonsuza dek lanetlenmek) Ve
b) Olasılık (ölümden sonra hayat yok) * (dinden alınacak zevk)
Olasılık (ölümden sonra hayat var)* (sonsuz mutluluk)
Pascal'ın mantığı çok basitti: Eğer (a) (b)'den büyükse o zaman hedonizme devam edecekti, ama
eğer (a) (b)'den küçükse o zaman dindar olmalıydı."
"Ama değişkenlerin değerlerini bilmeden bu denklemi nasıl çözdü?" diye sordu Michael.
"Birkaç varsayımda bulundu, örneğin, sonsuz mutluluğun değeri pozitif sonsuzdu ve sonsuza dek
lanetlenmenin değeri negatif sonsuzdu."
Sonsuz mutluluk = +00
Sonsuza dek lanetlenmek =-00
"Eğer bir denklemde sonsuzu kullanırsanız bu diğer her şeyi etkiler, çünkü çok büyük bir sayıdır,
böylece (a) hedonizmin beklenen değeri negatif sonsuz ve (b) dini hayatın beklenen değeri pozitif
sonsuz."
(a) hedonizm =-00 ve (b) din = +00
o zaman
{a)< (b) böylece...
(b) bek. değer (hedonizm) < bek. değer (dini hayat)
"Anladınız mı? Ölümden sonra insanın ruhunun yaşamasının veya her hangi bir şekilde bir hayat
olmasının olasılığı ne kadar az olursa olsun, Pascal'ın dine bağlı bir hayat yaşamasından beklediği
getiri, yine de dünyevi zevklerle hedonistik bir yaşam sürüp de sonsuza dek lanetlenmeyi göze alacağı
bir durumun getirisinden daha büyüktür."
"Pascal bunu anladığı anda da hayatının geri kalanını dine adaması gerektiği açıktı.
--Eksiklik Kendi Özümde--
enorton Nickli Üyeden Alıntı
Alıntı
Yer imleri